设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{an}的集合：①对任意n∈N+，an+an+22≤an+1，恒成立；②对任意n∈N+，存在与n无关的常数M，使an≤M恒成

题文

设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{a_n}的集合：①对任意n∈N⁺，an+an+22≤a_n+1，恒成立；②对任意n∈N⁺，存在与n无关的常数M，使a_n≤M恒成立．
（Ⅰ）若{a_n}是等差数列，S_n是其前n项的和，且a₃=4，S₃=18，试探究数列{S_n}与集合W之间的关系；
（Ⅱ）设数列{b_n}的通项公式为b_n=5n-2ⁿ，且{b_n}∈W，求M的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差是d，则
a1+2d=43a1+3d=18，解得a1=8d=-2，（2分）
∴S_n=na₁+n(n-1)2d=-n²+9n，
∴Sn+Sn+22-S_n+1=(Sn+2-Sn+1)-(Sn+1-Sn)2=an+2-an+12=d2=-1＜0
∴得Sn+Sn+22＜S_n+1，适合条件①．（5分）
又S_n=-n²+9n=-(n-92)2+814，
∴所以当n=4或n=5时，S_n取得最大值20，即S_n≤20，适合条件②．（7分）
综上，{S_n}∈W．（8分）
（Ⅱ）∵=5（n+1）-2ⁿ⁺¹-5n+=5-2ⁿ，
∴当n≥3时，b_n+1-b_n＜0，此时数列{b_n}单调递减；（11分）
当n=1，2时，b_n+1-b_n＞0，即b₁＜b₂＜b₃，（12分）
因此数列{b_n}中的最大项是b₃=7，（13分）
∴M≥7，即M的取值范围是[7，+∞）．（14分）

解析

a1+2d=43a1+3d=18

考点

据考高分专家说，试题“设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{a.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。