已知数列{an}中，a1=1，Sn其前n项和，且an+1=2Sn+n2-n+1，①设bn=an+1-an，求数列{bn}的前n项和Tn；②求数列{an}的通项公

题文

已知数列{a_n}中，a₁=1，S_n其前n项和，且a_n+1=2S_n+n²-n+1，
①设b_n=a_n+1-a_n，求数列{b_n}的 前n项和T_n；
②求数列{a_n}的通项公式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

①∵a_n+1=2S_n+n²-n+1，
∴n≥2时，a_n=2S_n-1+（n-1）²-（n-1）+1，
两式相减可得a_n+1-a_n=2a_n+2n-2，
∵a₁=1，∴a₂=3，也满足上式，怎么
∴a_n+1-3a_n=2n-2
∴n≥2时，a_n-3a_n-1=2（n-1）-2
∵b_n=a_n+1-a_n，∴两式相减可得，n≥2时，b_n-3b_n-1=2
∴b_n+1=3（b_n-1+1）
∵b₁+1=3≠0，∴{b_n+1}是以3为公比，3为首项的等比数列
∴b_n+1=3ⁿ，
∴b_n=3ⁿ-1，
∴T_n=3(1-3n)1-3-n=12•3n+1-n-32；
②由①知，a_n+1-a_n=3ⁿ-1
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=3⁰+3¹+…+3^n-1-（n-1）=12(3n+1)-n

解析

3(1-3n)1-3

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中，a1=1，Sn其前n.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。