已知数列{an}满足a1=1且an=an-1cos2nπ3，则其前2013项的和为______．

题文

已知数列{a_n}（n∈N^*）满足a₁=1且a_n=a_n-1cos2nπ3，则其前2013项的和为______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

当n=3k（k∈N）时，cos2×3kπ3=cos2kπ=1，
当n=3k+1（k∈N）时，cos2×(3k+1)π3=cos(2kπ+2π3)=cos2π3=-12，
当n=3k+2（k∈N）时，cos2×(3k+2)π3=cos(2kπ+43π)=-cosπ3=-12，
由a₁=1且a_n=a_n-1cos2nπ3，
得：a2=a1cos2π3=-12，a3=a2cos2π=-12，
a4=a3cos8π3=(-12)×(-12)=14，a5=a4cos10π3=14×(-12)=-18，
a6=a5cos12π3=(-18)×cos4π=(-18)×1=-18，
…
由此可得从第一项起，数列{a_n}的每三项和为0，
而2013=671×3，所以，S₂₀₁₃=（a₁+a₂+a₃）+（a₄+a₅+a₆）+…+（a₂₀₁₁+a₂₀₁₂+a₂₀₁₃）=0．
故答案为0．

解析

2×3kπ3

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}（n∈N*）满足a1=1.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。