在数列{an}中，a1=2，a2=4，且当n≥2时，a2n=an-1an+1，n∈N*．求数列{an}的通项公式an若bn=an，求数

题文

在数列{a_n}中，a₁=2，a₂=4，且当n≥2时，a 2n=an-1an+1，n∈N^*．
（I）求数列{a_n}的通项公式a_n
（II）若b_n=（2n-1）a_n，求数列{b_n}的前n项和Sn
（III）是否存在正整数对（m，n），使等式 2n-man+4m=0成立？若存在，求出所有符合条件的（m，n）；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）由已知可得，数列{a_n}是等比数列
∵a₁=2，a₂=4
∴q=a2a1=2
∴an=a1qn-1=2ⁿ
（II）∵b_n=（2n-1）a_n=（2n-1）•2ⁿ
∴Sn=1•2+3•22+5•23+…+(2n-1)•2n
 2S_n=1•2²+3•2³+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹
两式相减可得，-Sn=2+2(22+23+…+2n)-(2n-1)•2n+1
=2-8(1-2n)1-2-(2n-1)•2n+1
=-6+2^n-2-n•2ⁿ⁺²+2ⁿ⁺¹
∴Sn=(2n-3)•2n+1+6
（III）假设存在正整数对（m，n），使得等式an2-man+4m=0
∵an=2n
∴2²ⁿ=m（2ⁿ-4）成立
∵m∈N^*∴2ⁿ＞4
∴m=22n2n-4=22n-16+162n-4=2n-4+162n-4+8≥16
当且仅当2ⁿ-4=4即n=3时取等号
∵2ⁿ＞4
∴162n-4∈N*
∴2ⁿ-4=1或2或8或16，此时均无解
故符合题意的正整数对只有（16，3）

解析

a2a1

考点

据考高分专家说，试题“在数列{an}中，a1=2，a2=4，且.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。