已知数列{an}中，a1=6，an+1=an+1，数列{bn}，点在过点A的直线l上，若l上有两点B、C，向量BC=．求数

题文

已知数列{a_n}中，a₁=6，a_n+1=a_n+1，数列{b_n}，点（n，b_n）在过点A（0，1）的直线l上，若l上有两点B、C，向量BC=（1，2）．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=n•2bn，试求数列{c_n}的前n项和． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）在数列{a_n}中，∵a_n+1=a_n+1，∴a_n+1-a_n=1
则数列{a_n}是公差为1的等差数列，又a₁=6，
∴a_n=a₁+（n-1）d=6+1×（n-1）=n+5．
设l上任意一点P（x，y），∵点A（0，1）在直线l上，则AP=（x，y-1），
由已知可得AP∥BC，又向量BC=（1，2），
∴2x-（y-1）=0，∴直线l的方程为y=2x+1，
又直线l过点（n，b_n），∴b_n=2n+1；       
（2）由cn=n•2bn=n•22n+1
∴S_n=C₁+C₂+…+c_n
=1×2³+2×2⁵+3×2⁷+…+n•2²ⁿ⁺¹①
4Sn=1×25+2×27+…+(n-1)•22n+1+n•22n+3②
①-②得：-3Sn=23+25+27+…+22n+1-n•22n+3．
=8(1-4n)1-4-n•22n+3=8(1-4n)-3-n•22n+3
∴Sn=8+(3n-1)22n+39．

解析

AP

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中，a1=6，an+1=.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。