若数列{an}满足a1=12，a1+a2+…+an=n2an，则数列{an}的前60项和为______．

题文

若数列{a_n}满足a₁=12，a₁+a₂+…+a_n=n²a_n，则数列{a_n}的前60项和为______．题型：未知难度：其他题型

答案

∵数列{a_n}的前n项的和S_n=a₁+a₂+…+a_n，∴S_n=n²a_n，
当n≥2时，S_n-1=（n-1）²a_n-1，两式相减得a_n=n²a_n-（n-1）²a_n-1，
即（n²-1）a_n=（n-1）²a_n-1，故anan-1=n-1n+1，
∴ana1=a2a1×a3a2×a4a3×…×anan-1=13×24×…×n-2n×n-1n+1=2n(n+1)
结合a₁=12，可得a_n=1n(n+1)
当n=1时，也满足上式，故a_n=1n(n+1)对任意n∈N₊成立，
可得a_n=1n(n+1)=1n-1n+1，
因此，数列数列{a_n}的前n项和为S_n=（1-12）+（12-13）+（13-14）+…+（1n-1n+1）=1-1n+1=nn+1．
∴{a_n}的前60项和为6061
故答案为：6061

解析

anan-1

考点

据考高分专家说，试题“若数列{an}满足a1=12，a1+a2.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如
$若数列{an}满足a1=12，a1+a2+…+an=n2an，则数列{an}的前60项和为______．$
的形式，可以把
$若数列{an}满足a1=12，a1+a2+…+an=n2an，则数列{an}的前60项和为______．$
表示为
$若数列{an}满足a1=12，a1+a2+…+an=n2an，则数列{an}的前60项和为______．$
，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如
$若数列{an}满足a1=12，a1+a2+…+an=n2an，则数列{an}的前60项和为______．$
的数列，其中
$若数列{an}满足a1=12，a1+a2+…+an=n2an，则数列{an}的前60项和为______．$
为等差数列，
$若数列{an}满足a1=12，a1+a2+…+an=n2an，则数列{an}的前60项和为______．$
为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：

$若数列{an}满足a1=12，a1+a2+…+an=n2an，则数列{an}的前60项和为______．$

数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。