定义数列An：a1，a2，…，an，满足a1=an=0，且当2≤k≤n时，(ak-ak-1)2=1．令S（A

题文

定义数列A_n：a₁，a₂，…，a_n，（例如n=3时，A₃：a₁，a₂，a₃）满足a₁=a_n=0，且当2≤k≤n（k∈N^*）时，(ak-ak-1)2=1．令S（A_n）=a₁+a₂+…+a_n．
（1）写出数列A₅的所有可能的情况；
（2）设a_k-a_k-1=c_k-1，求S（A_m）（用m，c₁，…，c_m的代数式来表示）；
（3）求S（A_m）的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题设，满足条件的数列A₅的所有可能情况有：
①0，1，2，1，0；②0，1，0，1，0；
③0，1，0，-1，0；④0，-1，-2，-1，0；
⑤0，-1，0，1，0；⑥0，-1，0，-1，0．
（2）a_k-a_k-1=c_k-1，由(ak-ak-1)2=1，
则c_k-1=1或c_k-1=-1（2≤k≤n，k∈N^*），
a₂-a₁=c₁，a₃-a₂=c₂，
…a_n-a_n-1=c_n-1，
所以a_n=a₁+c₁+c₂+…+c_n-1．
因为a₁=a_n=0，所以c₁+c₂+…+c_n-1=0，且n为奇数，
c₁，c₂，…，c_n-1是由n-12个1和n-12个-1构成的数列．
所以S（A_m）=c₁+（c₁+c₂）+…+（c₁+c₂+…+c_m-1）
=（m-1）c₁+（m-2）c₂+…+2c_m-2+c_m-1．
（3）当c₁，c₂，…，c_m-1的前m-12项取1，
后m-12项取-1时S（A_m）最大，
此时S(Am)=(m-1)+(m-2)+…+m+12-(m-12+…+2+1)=(m-1)24（14分）
证明如下：
假设c₁，c₂，…，c_m-1的前m-12项中恰有t项cm1，cm2，…，cmt取-1，
则c₁，c₂，…，c_m-1的后m-12项中恰有t项cn1，cn2，…cnt取1，
其中1≤t≤m-12，1≤mi≤m-12，n-12＜ni≤m-1，i=1，2，…，t．
所以S（A_m）=（m-1）c₁+（m-2）c₂+…+2c_m-2+c_m-1
=(m-1)c1+(m-2)c2+…+m+12cm-12+m-12cm+12+…+2cm-2+cm-1
=(m-1)+(m-2)+…+m+12-(m-12+…+2+1)-2[（m-m₁）+（m-m₂）+…+（m-m_t]+2[（m-n₁）+（m-n₂）+…+（m-n_t）]
=(m-1)24-2[(n1-m1)+(n2-m2)+…+(nt-mt)]＜(m-1)24．
所以S（A_m）的最大值为(m-1)24．

解析

n-12

考点

据考高分专家说，试题“定义数列An：a1，a2，…，an，（例.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。