在等比数列{an}中，已知a1=3，公比q≠1，等差数列{bn}满足b1=a1，b4=a2，b13=a3．求数列{an}与{bn}的通项公式；记cn

题文

在等比数列{a_n}中，已知a₁=3，公比q≠1，等差数列{b_n}满足b₁=a₁，b₄=a₂，b₁₃=a₃．
（Ⅰ）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）记cn=(-1)nbn+an，求数列{c_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ） 设等比数列{a_n}的公比为q（q≠1），等差数列{b_n}的公差为d．
由已知得：a2=3q，a3=3q2，b₁=3，b₄=3+3d，b₁₃=3+12d，
所以3q=3+3d3q2=3+12d⇒q=1+dq2=1+4d⇒q=3或 q=1（舍去），
所以，此时 d=2，
所以，an=3n，b_n=2n+1；
（Ⅱ） 由题意得：cn=(-1)nbn+an=(-1)n(2n+1)+3n，
S_n=c₁+c₂+…+c_n=（-3+5）+（-7+9）+…+（-1）^n-1（2n-1）+（-1）ⁿ（2n+1）+3+3²+…+3ⁿ，
当n为偶数时，Sn=n+3n+12-32=3n+12+n-32，
当n为奇数时，Sn=(n-1)-(2n+1)+3n+12-32=3n+12-n-72，
所以，Sn=3n+12+n-32(n为偶数时)3n+12-n-72(n为奇数时)．

解析

3q=3+3d3q2=3+12d

考点

据考高分专家说，试题“在等比数列{an}中，已知a1=3，公比.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。