已知等差数列an的首项a1及公差d都是整数，前n项和为Sn，若a1＞1，a4＞3，S3≤9，设bn=2nan，则b1+b2+…+bn的结果为______．

题文

已知等差数列a_n的首项a₁及公差d都是整数，前n项和为S_n，若a₁＞1，a₄＞3，S₃≤9，设b_n=2ⁿa_n，则b₁+b₂+…+b_n的结果为______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

因为a₁＞1，a₄＞3，S₃≤9，
所以a₁+3d＞3，3a₂≤9⇒d＞23，a₁+d≤3⇒a₁≤3-d＜3-23=73=213．
∵等差数列{a_n}的首项a₁及公差d都是整数
∴a₁=2 则13＜d≤1⇒d=1．
∴a_n=2+1×（n-1）=n+1．
∴b_n=2ⁿa_n=2ⁿ（n+1）
令S_n=b₁+b₂+…+b_n
=2•2¹+3•2²+…+n•2^n-1+（n+1）•2ⁿ①
∴2S_n=2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ+（n+1）2ⁿ⁺¹②
①-②得，-S_n=2•2¹+2²+…+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹=4+4(1-2n-1)1-2-(n+1)•2n+1
=-n•2ⁿ⁺¹
∴S_n=n•2ⁿ⁺¹
故答案为：n•2ⁿ⁺¹

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列an的首项a1及公差d都是整.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。