某企业为加大对新产品的推销力度，决定从今年起每年投入100万元进行广告宣传，以增加新产品的销售收入．已知今年的销售收入为250万元，经市场调查，预测第n年与第n

题文

某企业为加大对新产品的推销力度，决定从今年起每年投入100万元进行广告宣传，以增加新产品的销售收入．已知今年的销售收入为250万元，经市场调查，预测第n年与第n-1年销售收入a_n与a_n-1万元满足关系式：a_n=a_n-1+5002n-100．
（1）设今年为第一年，求第n年的销售收入a_n；
（2）依上述预测，该企业前几年的销售收入总和S_n最大． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）题意可知an-an-1=5002n-100．
an-1-an-2=5002n-1-100．
…
a3-a2=50023-100．
a2-a1=50022-100．
a1=250=5002．
以上各式相加得：
an=500(12+122+…+12n)-100(n-1)
=500•12(1-12n)1-12-100n+100
=500-5002n-100(n-1) 
（2）要求销售收入总和S_n的最大值，即求年销售收入大于零的所有年销售收入的和．
∵a_n=500-5002n-100(n-1)．
要使a_n≥0，
即使500-5002n-100(n-1)≥0，
也就是使12n+n-15≤1．
令b_n=12n+n-15，
则有b_n-b_n-1=12n+n-15-12n-1-n-25=15-12n．
显然，当n≥3时，b_n＞b_n-1，
而b₅＜1，b₆＞1
∴a₅＞0，a₆＜0
∴该企业前5年的销售收入总和最大．

解析

5002n

考点

据考高分专家说，试题“某企业为加大对新产品的推销力度，决定从今.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。