定义在R上的函数f满足f=f(x)-f2(x)+12，f=1，已知an=f2-f，则数列{an}的前40项和______．

题文

定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=f(x)-f2(x)+12，f（1）=1，已知a_n=f²（n）-f（n），则数列{a_n}的前40项和______．题型：未知难度：其他题型

答案

∵f（x+1）=f(x)-f2(x)+12，
∴f（x+1）-12=f(x)-f2(x)，
两边平方，得[f（x+1）-12]²=f（x）-f²（x）
化简得[f²（x+1）-f（x+1）]-[f²（x）-f（x）]=-14
∵a_n=f²（n）-f（n），可得a_n+1=f²（n+1）-f（n+1），
∴a_n+1-a_n=[f²（n+1）-f（n+1）]-[f²（n）-f（n）]=-14，
可得{a_n}构成公差d=-14的等差数列
∵f（1）=1，得a₁=f²（1）-f（1）=0
∴{a_n}的通项公式为a_n=a₁+（n-1）d=14（1-n）
因此，数列{a_n}的前40项和为S₄₀=40(a1+a40)2=20×（-394）=-195
故答案为：-195

解析

f(x)-f2(x)

考点

据考高分专家说，试题“定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如
$定义在R上的函数f满足f=f(x)-f2(x)+12，f=1，已知an=f2-f，则数列{an}的前40项和______．$
的形式，可以把
$定义在R上的函数f满足f=f(x)-f2(x)+12，f=1，已知an=f2-f，则数列{an}的前40项和______．$
表示为
$定义在R上的函数f满足f=f(x)-f2(x)+12，f=1，已知an=f2-f，则数列{an}的前40项和______．$
，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如
$定义在R上的函数f满足f=f(x)-f2(x)+12，f=1，已知an=f2-f，则数列{an}的前40项和______．$
的数列，其中
$定义在R上的函数f满足f=f(x)-f2(x)+12，f=1，已知an=f2-f，则数列{an}的前40项和______．$
为等差数列，
$定义在R上的函数f满足f=f(x)-f2(x)+12，f=1，已知an=f2-f，则数列{an}的前40项和______．$
为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：

$定义在R上的函数f满足f=f(x)-f2(x)+12，f=1，已知an=f2-f，则数列{an}的前40项和______．$

数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。