已知数列{an} 的前n项和为Sn ，且有a1=2，3Sn=5an-an-1+3Sn-1．若bn=an，求数列{bn}的前n项和Tn

题文

已知数列{a_n} 的前n项和为S_n ，且有a₁=2，3S_n=5a_n-a_n-1+3S_n-1（n≥2）．
（1）若b_n=（2n-1）a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（2）若c_n=tⁿ[lg（2t）ⁿ+lga_n+2]（0＜t＜1），且数列{c_n} 中的每一项总小于它后面的项，求实数t的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵3S_n=5a_n-a_n-1+3S_n-1（n≥2），∴3a_n=5a_n-a_n-1，化为an=12an-1．
∴数列{a_n}是以2为首项，12为公比的等比数列，
∴an=2×(12)n-1=2^2-n．
∴bn=(2n-1)•22-n．
∴T_n=1×2+3×2⁰+5×2^-1+…+（2n-3）×2^3-n+（2n-1）•2^2-n，
2T_n=1×2²+3×2¹+…+（2n-3）•2^4-n+（2n-1）•2^3-n．
∴T_n=4+2×2¹+2×2⁰+…+2×2^3-n-（2n-1）•2^2-n．
=2×4(1-12n)1-12-4-（2n-1）•2^2-n
=16(1-12n)-4-（2n-1）2^2-n
=12-162n-（2n-1）•2^2-n．
（2）cn=tn[lg(2t)n+lg2-n]=ntⁿ[lg（2t）-1]．
∵c_n＜c_n+1，∴ntⁿ[lg（2t）-1]＜（n+1）tⁿ⁺¹[lg（2t）-1]．（*）
∵0＜t＜1，∴0＜2t＜2，∴lg（2t）＜1．
∴（*）化为n＞（n+1）t，∴t＜nn+1．
∵nn+1随着n的增大而减小，
∴t＜12．
而0＜t＜1．
得到0＜t＜12．即为t的取值范围．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an} 的前n项和为Sn ，且.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。