数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=32，数列{bn}满足bn=14bn-1-34，b1=3．求数列{an}与{bn}的通项公式．

题文

数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=32（a_n-l），数列{b_n}满足b_n=14bn-1-34（n≥2），b₁=3．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式．
（2）设数列{c_n} 满足c_n=a_nlog₂（b_n+1），其前n项和为T_n，求T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）对于数列{a_n}，当n=1时，a1=S1=32(a1-1)，解得a₁=3．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=32(an-1)-32(an-1-1)，化为a_n=3a_n-1．
∴数列{a_n}是首项为3，公比为3的等比数列，
∴an=3×3n-1=3n．
对于数列{b_n}满足b_n=14bn-1-34（n≥2），b₁=3．
可得bn+1=14(bn-1+1)．
∴数列{b_n+1}是以b₁+1=4为首项，14为公比的等比数列．
∴bn+1=4×(14)n-1，化为bn=42-n-1．
（2）cn=3n•log(42-n-1+1)2=3ⁿ（4-2n）
∴Tn=2×31+0+(-2)•33+…+（4-2n）•3ⁿ．
3Tn=2×32+0+(-2)×34+…+（6-2n）•3ⁿ+（4-2n）•3ⁿ⁺¹．
∴-2Tn=6+(-2)•32+(-2)•33+…+（-2）•3ⁿ-（4-2n）•3ⁿ⁺¹
=6-2×32(3n-1-1)3-1-（4-2n）•3ⁿ⁺¹．
∴Tn=-152+(52-n)•3n+1．

解析

32

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=3.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。