已知数列{an}的前n项和为Sn，且曲线y=x2-nx+1在x=an处的切线的斜率恰好为Sn．求数列{an}的通项公式；求数列{nan}

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且曲线y=x²-nx+1（n∈N^*）在x=a_n处的切线的斜率恰好为S_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{na_n}的前n项和为T_n；
（3）求证：1a1+1a2+1a3+…1an＜53． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）y’=2x-n，由导数的几何意义，得S_n=2a_n-n①，（1分）则S_n+1=2a_n+1-（n+1）②，
②一④得：a_n+l=2a_n+1-2a_n-1，即a_n+1=2a_n+l，（2分）故a_n+1=2（a_n+1）．（3分）
由①知，a_l=S₁=2a₁-1，得a₁=1．（4分）
∴{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴a_n+l=2ⁿ，即a_n=2ⁿ-l（n∈N^*）．（5分）
（2）由（1）知，na_n=n（2ⁿ-1）=n•2ⁿ-n，则Tn=(1•2+2•22+3•23++n•2n)-(1+2+3++n)=An-n(n+1)2，其中A_n=1•2+2•2²+3•2³++n•2ⁿ，①2A_n=1•2²+2•2³++（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，②
①一②得：-An=2+22+23++2n-n•2n+1=2(1-2n)1-2-n•2n+1=2n+1-2-n•2n+1
∴A_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2（8分）故Tn=(n-1)2n+1+2-n(n+1)2（9分）
（3）∵1an=12n-1=2n+1-1(2n-1)(2n+1-1)＜2n+1(2n-1)(2n+1-1)=2•(2n+1-1)-(2n-1)(2n-1)(2n+1-1)=2(12n-1-12n+1-1)(n≥2)（12分）∴1a1+1a2+1a3++1an＜1+2[(122-1-123-1)+(123-1-124-1)++(1．2n-1-12n+1-1)]=1+2(122-1-12n+1-1)＜1+2•13=53（l4分）

解析

n(n+1)2

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，且曲线.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。