已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=12且an+2Sn•Sn-1=0．求证{1Sn}是等差数列，并求出an的表达式；若bn=2（1-

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a1=12且a_n+2S_n•S_n-1=0（n≥2）．
（Ⅰ）求证{1Sn}是等差数列，并求出a_n的表达式；
（Ⅱ） 若b_n=2（1-n）a_n（n≥2），求证b₂²+b₃²+…+b_n²＜1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）证明：当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1
又a_n+2S_nS_n-1=0
∴S_n-S_n-1+2S_nS_n-1=0（n≥2），
若S_n=0，则a_n=0，
∴a₁=0与a₁=12矛盾
∴S_n≠0，S_n-1≠0．
∴1Sn-1-1Sn+2=0即1Sn-1Sn-1=2，
又1S2-1S1=2．
∴{1Sn}是首项为2，公差为2的等差数列
由（I）知数列{1Sn}是等差数列．
∴1Sn=2+（n-1）•2=2n即S_n=12n
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=12n-12(n-1)=-12n(n-1)，
又当n=1时，S₁=a₁=12，
∴a_n=12，(n=1)-12n(n-1)(n≥2)，
（Ⅱ）证明：由（I）知b_n=2（1-n）•12n(1-n)=1n（n≥2）
∴b₂²+b₃²+…+b_n²=122+132+…+1n2＜11×2+12×3+…+1(n-1)n
=(1-12)+(12-13)+…+(1n-1-1n)
=1-1n＜1

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。