已知f=2x-1，g=-2x，数列{an}的各项都是整数，其前n项和为Sn，若点在函数y=f或y=g的

题文

已知f（x）=2x-1，g（x）=-2x，数列{a_n} （n∈N^*）的各项都是整数，其前n项和为S_n，若点（a_2n-1，a_2n）在函数y=f（x）或y=g（x）的图象上，且当n为偶数时，a_n=n2，则
（1）S₈=______；
（2）S_4n=______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当n为偶数时，a_n=n2，
∵f（x）=2x-1，g（x）=-2x，点（a_2n-1，a_2n）在函数y=f（x）或y=g（x）的图象上，
∴a_2n=2a_2n-1-1，或a_2n=-2a_2n-1，
当a_2n=2a_2n-1-1时，2a_2n-1=a_2n+1=n+1，∴a_2n-1=n+12，
∵数列{a_n} （n∈N^*）的各项都为整数，
∴n为奇数时，a_2n-1=n+12，
令n=2k-1，k∈N^*，则a_4k-3=2k-1+12=k，即a₁，a₅，a₉，…，成首项为1，公差为1的等差数列；
当a_2n=-2a_2n-1时，a_2n-1=-n2，
所以n为偶数时，a_2n-1=-n2，
令n=2k′，k′∈N^*，则a_4k′-1=-2k′2=-k′，即a₃，a₇，a₁₁，…，成首项为-1，公差为-1的等差数列；
所以S₈=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆+a₇+a₈
=（a₂+a₄+a₆+a₈）+（a₁+a₅）+（a₃+a₇）
=12（2+4+6+8）+（1+2）+（-1-2）
=10；
（2）由（1）知，n为偶数时，a_n=n2，且a₁，a₅，a₉，…，成首项为1，公差为1的等差数列，a₃，a₇，a₁₁，…，成首项为-1，公差为-1的等差数列，
所以S_4n=S_奇+S_偶=[（1+2+3+…+n）+（-1-2-3-…-n）]+（1+2+3+4+…+2n）=2n(1+2n)2=2n²+n．
故答案为：（1）10；（2）2n²+n．

解析

n2

考点

据考高分专家说，试题“已知f（x）=2x-1，g（x）=-2x.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。