在数列{an}中，前n项和为Sn，且Sn=n(n+1)2．求数列{an}的通项公式；设bn=an2n，数列{bn}前n项和为Tn，求Tn的取值范围．

题文

在数列{a_n}中，前n项和为S_n，且Sn=n(n+1)2．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=an2n，数列{b_n}前n项和为T_n，求T_n的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁=1；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n(n+1)2-(n-1)n2=n，经验证，a₁=1满足上式．
故数列{a_n}的通项公式a_n=n．
（Ⅱ）可知Tn=12+222+323+…+n2n，
则12Tn=122+223+324+…+n2n+1，
两式相减，得Tn-12Tn=12+122+123+…+12n-n2n+1=1-12n-n2n+1，
∴Tn=2-n+22n．
由于Tn+1-Tn=n+12n+1＞0，则T_n单调递增，故Tn≥T1=12，
又Tn=2-n+22n＜2，
故T_n的取值范围是[12，2)．

解析

n(n+1)2

考点

据考高分专家说，试题“在数列{an}中，前n项和为Sn，且Sn.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。