设数列{an}满足a1=1，a2+a4=6，且对任意n∈N*，函数f=x+an+1•cosx-an+2sinx满足f′(π2)

题文

设数列{a_n}满足a₁=1，a₂+a₄=6，且对任意n∈N^*，函数f（x）=（a_n-a_n+1+a_n+2）x+a_n+1•cosx-a_n+2sinx满足f′(π2)=0若cn=an+12an，则数列{c_n}的前n项和S_n为（ ）A．n2+n2-12nB．n2+n+42-12n-1C．n2+n+22-12nD．n2+n+42-12n 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵f（x）=（a_n-a_n+1+a_n+2）x+a_n+1•cosx-a_n+2sinx，
∴f′（x）|x=π2=a_n-a_n+1+a_n+2-a_n+1•sinx|x=π2-a_n+2cosx|x=π2，
=a_n-2a_n+1+a_n+2，
∵f′（π2）=0，
∴a_n-2a_n+1+a_n+2=0，即2a_n+1=a_n+a_n+2，
∴数列{a_n}是等差数列，设其公差为d，
∵a₂+a₄=6，
∴2a₁+4d=6，a₁=1，
∴d=1，
∴a_n=1+（n-1）×1=n，
∴c_n=a_n+12an=n+12n，
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n
=（1+2+…+n）+（12+122+…+12n）
=(1+n)n2+12[1-(12)n]1-12
=n2+n+22-12n．
故选：C．

解析

π2

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}满足a1=1，a2+a4=.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。