一个等比数列的前n项之和是2n-b，那么它的前n项的各项平方之和为A．2B．13C．4n-1D．13

题文

一个等比数列的前n项之和是2ⁿ-b，那么它的前n项的各项平方之和为（ ）A．（2ⁿ-1）²B．13（2ⁿ-1）C．4ⁿ-1D．13（4ⁿ-1） 题型：未知 难度：其他题型

答案

设该等比数列为{a_n}，前n项和为S_n=2ⁿ-b，
则a₁=2-b，a₂=S₂-S₁=2，a₃=S₃-S₂=4，
∴2²=（2-b）×4，解得b=1，
∴该数列的首项为1，公比为2，
∴an=2n-1，则an2=22n-2，
又an+12an2=22n22n-2=4（常数），
∴{an2}是首项为1，公比为4的等比数列，
∴原等比数列的前n项的各项平方之和为：1²+2²+4²+…+2^2n-2=1-4n1-4=13(4n-1)，
故选D．

解析

an+12an2

考点

据考高分专家说，试题“一个等比数列的前n项之和是2n-b，那么.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。