已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0．且a2，a5，a14分别是等比数列{bn}的b1，b2，b3．求数列{an}与{bn}的通项公式；设

题文

已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0．且a₂，a₅，a₁₄分别是等比数列{b_n}的b₁，b₂，b₃．
（Ⅰ）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{C_n}对任意自然数n均有c1b1+c2b2+…+cnbn=a_n+1成立，求c₁+c₂+…+c₂₀₁₃的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a₂=1+d，a₅=1+4d，a₁₄=1+13d，且a₂，a₅，a₁₄成等比数列，
∴（1+4d）²=（1+d）（1+13d），解得d=2，
∴a_n=1+（n-1）•2=2n-1，
又b₁=a₂=3，b₂=a₅=9，
∴q=3，bn=3•3n-1=3n；
（2）c1b1+c2b2+…+cnbn=a_n+1，即C13+C232+…+Cn3n=2n+1①，
则n≥2时，C13+C232+…+Cn-13n-1=2n-1②，
①-②得，Cn3n=2，所以Cn=2•3n（n≥2），
n=1时，C₁=9，
所以Cn=

解析

c1b1

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}的首项a1=1，公差.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。