已知不等式x2-2x-3＜0的整数解由小到大构成数列{an}前三项，若数列{an+2a2}的前n项和为Sn，则Sn=______．

题文

已知不等式x²-2x-3＜0的整数解由小到大构成数列{a_n}前三项，若数列{a_n+2a2}的前n项和为S_n，则S_n=______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵x²-2x-3＜0，
∴-1＜x＜3，
∵不等式x²-2x-3＜0的整数解由小到大构成数列{a_n}前三项，
∴a₁=0，a₂=1，a₃=2，
∴a_n=0+（n-1）×1=n-1，
∴a_n+2a2=（n-1）+2¹=n+1，
∴数列{a_n+2a2}的前n项和S_n=（1+2+3+…+n）+n=n(n+1)2+n=n2+3n2．
故答案为：n2+3n2．

解析

n(n+1)2

考点

据考高分专家说，试题“已知不等式x2-2x-3＜0的整数解由小.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。