设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2n-1．数列{bn}满足b1=2，bn+1-2bn=8an．求数列{an}的通项公式；证明：数列{bn2n

题文

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2ⁿ-1．数列{b_n}满足b₁=2，b_n+1-2b_n=8a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明：数列{bn2n}为等差数列，并求{b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当n=1时，a₁=s₁=2¹-1=1；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ-1）-（2^n-1-1）=2^n-1，
a₁=1适合通项公式a_n=2^n-1，
∴a_n=2^n-1（n∈N^*）；
（2）∵b_n+1-2b_n=8a_n，
∴b_n+1-2b_n=2ⁿ⁺²，
∴bn+12n+1-bn2n=2，又b121=1，
∴{bn2n}是首项为1，公差为2的等等差数列．
∴bn2n=1+2（n-1）=2n-1，
∴b_n=（2n-1）×2ⁿ．
∴T_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）×2ⁿ，
∴2T_n=1×2²+3×2³+…+（2n-3）×2ⁿ+（2n-1）×2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）×2ⁿ⁺¹
=2+2×22(1-2n-1)1-2-（2n-1）×2ⁿ⁺¹
=2ⁿ⁺²-6-（2n-1）×2ⁿ⁺¹，
=（3-2n）•2ⁿ⁺¹-6，
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6．

解析

bn+12n+1

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。