已知n次多项式Sn=…，其中n是正整数．记Sn的展开式中x的系数是an，x2的系数是bn．求

题文

已知n次多项式S_n（x）=（1+2x）（1+4x）（1+8x）…（1+2ⁿx），其中n是正整数．记S_n（x）的展开式中x的系数是a_n，x²的系数是b_n．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）证明：b_n+1-b_n=4ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺²；
（Ⅲ）是否存在等比数列{c_n}和正数c，使得b_n=（c_n-c）（c_n+1-c）对任意正整数n成立？若存在，求出通项c_n和正数c；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由题意得，an=2+4+…+2n，即an=2(1-2n)1-2=2n+1-2．
（Ⅱ）证明：由Sn(x)=(1+2x)(1+4x)…(1+2nx)，
得Sn+1(x)=(1+2n+1x)•Sn(x)．
所以bn+1=bn+2n+1•an=bn+2n+2(2n-1)，即bn+1-bn=2n+2(2n-1)=4n+1-2n+2．
（Ⅲ）由S₁（x）=1+2x，得b₁=0．
当n≥2时，
由bn=n

k=2(bk-bk-1)=n

k=22k+1(2k-1-1)=4[22-22n1-4-2-2n1-2]=4(2-2n)(1-2+2n3)，
得bn=83(2n-1-1)(2n-1)．
当n=1时，b₁=0也适合上式，故bn=83(2n-1-1)(2n-1)，n∈N^*．
因此，存在正数c=

解析

2(1-2n)1-2

考点

据考高分专家说，试题“已知n次多项式Sn（x）=（1+2x）（.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。