定义一种新运算*，满足n*k=nλk-1．对于任意给定的k，设an=n*k，证明：数列{an}是等差数列

题文

定义一种新运算*，满足n*k=nλ^k-1（n，k∈N^*λ为非零常数）．
（1）对于任意给定的k，设a_n=n*k（n=1，2，3，…），证明：数列{a_n}是等差数列；
（2）对于任意给定的n，设b_k=n*k（k=1，2，3…），证明：数列{b_k}是等比数列；
（3）设c_n=n*n（n=1，2，3，..），试求数列{c_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：∵n*k=nλ^k-1（n，k∈N^*λ为非零常数），
∴a_n=n*k=nλ^k-1（n=1，2，3，…），
∴a_n+1-a_n=（n+1）λ^k-1-nλ^k-1=λ^k-1．
∵k，λ为非零常数，∴数列{a_n}是等差数列．
（2）证明：∵n*k=nλ^k-1（n，k∈N^*，λ为非零常数），
∴b_k=n*k=nλ^k-1（k=1，2，3，…），
∴bk+1bk=nλknλk-1=λ．
∵λ为非零常数，
∴数列{b_k}是等比数列．
（3）∵n*k=nλ^k-1（n，k∈N^*，λ为非零常数），
∴n*n=nλ^n-1．
则S_n=c₁+c₂+…+c_n=λ⁰+2λ+3λ²+…+nλ^n-1，
①当λ=1时，Sn=1+2+3+…+n=n(n+1)2．
②当λ≠1时，λS_n=λ+2λ²+3λ³+…+nλⁿ．
①-②得：（1-λ）S_n=1+λ+λ²+…+λ^n-1-nλⁿ，
∴S_n=1-λn(1-λ)2-nλn1-λ，
综上可知，S_n=

解析

bk+1bk

考点

据考高分专家说，试题“定义一种新运算*，满足n*k=nλk-1.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。