已知二次函数y=f的图象经过坐标原点，其导函数为f′=6x-2，数列{an}的前n项和为Sn，点均在函数y=f的图象上

题文

已知二次函数y=f（x）的图象经过坐标原点，其导函数为f′（x）=6x-2，数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=3anan+1，T_n是数列{b_n}的前n项和，求使得Tn＜m20对所有n∈N^*都成立的最小正整数m． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设这二次函数f（x）=ax²+bx（a≠0），
则f′（x）=2ax+b，
由于f′（x）=6x-2，得
a=3，b=-2，
所以f（x）=3x²-2x．
又因为点（n，S_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上，
所以S_n=3n²-2n．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（3n²-2n）-[3（n-1）²-2（n-1）]=6n-5．
当n=1时，a₁=S₁=3×1²-2=6×1-5，
所以，a_n=6n-5（n∈N^*）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得知bn=3anan+1=3(6n-5)(6(n+1)-5)=12(16n-5-16n+1)，
故T_n=n

i=1bi=12[(1-17)+(17-113)+…+(16n-5-16n+1)]=12（1-16n+1）．
因此，要使12（1-16n+1）＜m20（n∈N^*）成立的m，必须且仅须满足12≤m20，即m≥10，
所以满足要求的最小正整数m为10．

解析

3anan+1

考点

据考高分专家说，试题“已知二次函数y=f（x）的图象经过坐标原.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。