数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，Sn=12an+1-1．求a2，a3；求数列{an}的通项an；求数列{nan}的前n项和

题文

数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，Sn=12an+1-1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₂，a₃；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项a_n；
（Ⅲ）求数列{na_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵a₁=2，Sn=12an+1-1（n∈N^*），
∴当n=1时，S1=12a2-1=a1=2，
解得a₂=6．
当n=2时，S2=12a3-1=2+6=8，
解得a₃=18．
（Ⅱ）∵a₁=2，Sn=12an+1-1（n∈N^*），
∴当n≥2时，Sn=12an+1-1，Sn-1=12an-1，
∴an=Sn-Sn-1=12an+1-12an，
即a_n+1=3a_n．
对于a₂=3a₁也满足上式，
∴数列{a_n}是首项为2，公比为3的等比数列，
∴an=2•3n-1(n∈N*)．
（ III）∵an=2•3n-1(n∈N*)，
∴nan=2n•3n-1，
∴Tn=2•1+4•3+6•32+8•33+…+2n•3n-1，
3Tn=2•3+4•32+6•33+8•34+…+2n•3n，
相减得，-2Tn=2(1+3+32+33+…+3n-1)-2n•3n
=2•1-3n1-3-2n•3n
=3ⁿ-1-2n•3ⁿ，
∴Tn=(2n-1)•3n+12．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。