已知：数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an-n，．求：a1，a2的值；求：数列{an}的通项公式；若数列{bn}的前n

题文

已知：数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2a_n-n，（n∈N^*）．
（Ⅰ）求：a₁，a₂的值；
（Ⅱ）求：数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若数列{b_n}的前n项和为T_n，且满足b_n=na_n，（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵S_n=2a_n-n，
令n=1，解得a₁=1；
令n=2，解得a₂=3…（2分）
（Ⅱ）∵S_n=2a_n-n，
所以S_n-1=2a_n-1-（n-1），（n≥2）
两式相减得a_n=2a_n-1+1…（4分）
所以a_n+1=2（a_n-1+1），（n≥2）…（5分）
又因为a₁+1=2
所以数列{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列…（6分）
所以an+1=2n，即通项公式an=2n-1…（7分）
（Ⅲ）∵b_n=na_n，
所以bn=n(2n-1)=n•2n-n
所以Tn=(1•2-1)+(2•22-2)+…+（n•2ⁿ-n）
Tn=(1•2+2•22+…+n•2n)-(1+2+…+n)…（9分）
令Sn=1•2+2•22+…+n•2n①
2Sn=1•22+2•23+…+(n-1)•2n+n•2n+1②
①-②得-Sn=2+22+…+2n-n•2n+1
=2(1-2n)1-2-n•2n+1…（11分）
∴Sn=2(1-2n)+n•2n+1=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹…（12分）
所以Tn=2+(n-1)•2n+1-n(n+1)2…（13分）

解析

2(1-2n)1-2

考点

据考高分专家说，试题“已知：数列{an}的前n项和为Sn，且满.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。