已知n∈N*，设Sn是单调递减的等比数列{an}的前n项和，a1=1，且S2+a2、S4+a4、S3+a3成等差数列．求数列{an}的通项公式；数列

题文

已知n∈N^*，设S_n是单调递减的等比数列{a_n}的前n项和，a₁=1，且S₂+a₂、S₄+a₄、S₃+a₃成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列x∈（0，+∞）满足b₁=2a₁，b_n+1b_n+b_n+1-b_n=0，求数列f（x）_max≤0的通项公式；
（Ⅲ）在满足（Ⅱ）的条件下，若cn=ancos(nπ)bn，求数列{c_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（ I）设数列{a_n}的公比为q，由2（S₄+a₄）=S₂+a₂+S₃+a₃，
得（S₄-S₂）+（S₄-S₃）+2a₄=a₂+a₃，即4a₄=a₂，
所以q²=14，
∵{a_n}是单调数列，
∴q=12，
∴a_n=(12)n-1．
（ II）b₁=2，∵b_n+1b_n+b_n+1-b_n=0，
∴1+1bn-1bn+1=0，即1bn+1-1bn=1，
即{1bn}是以12为首项，1为公差的等差数列，
故1bn=12+（n-1）×1=2n-12，即b_n=22n-1．
（ III）∵c_n=ancos(nπ)bn=2n-12ncos（nπ）=2n-12n•（-1）ⁿ=（2n-1）×(-12)n，
∴T_n=1×（-12）+3×(-12)2+5×(-12)3+…+（2n-1）×(-12)n，
-12T_n=1×(-12)2+3×(-12)3+…+（2n-3）×(-12)n+（2n-1）×(-12)n+1，
两式相减，得32T_n=1×（-12）+2[(-12)2+(-12)3+…+(-12)n-（2n-1）×(-12)n+1]
=12+2×-12×[1-(-12)n]1+12-（2n-1）×(-12)n+1
=12-23[1-(-12)n]-（2n-1）×(-12)n+1，
=-16+（n+16）•(-12)n，
即T_n=-19+19（6n+1）(-12)n．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知n∈N*，设Sn是单调递减的等比数列.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。