已知等差数列{an}的首项a1=4，公差d＞0，且a1，a5，a21分别是正数等比数列{bn}的b3，b5，b7项．求数列{an}与{bn}的通项公式；（

题文

已知等差数列{a_n}的首项a₁=4，公差d＞0，且a₁，a₅，a₂₁分别是正数等比数列{b_n}的b3，b5，b7项．
（Ⅰ）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{c_n}对任意n^*均有c1b1+c2b2+…+cnbn=an+1成立，设{c_n}的前n项和为T_n，求T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵a₅=4+4d，a₂₁=4+20d，且a₁，a₅，a₂₁成等比数列，
∴（4+4d）²=4（4+20d），
整理得：d²=3d，
∵公差d＞0，
∴d=3，
∴a_n=4+（n-1）×3=3n+1．
又b₃=a₁=4，b₅=a₅=16，
∴q²=4，
∵q＞0，
∴q=2，
∴b₁=b3q2=1，
∴b_n=2^n-1．
（Ⅱ）∵c1b1+c2b2+…+cnbn=a_n+1，①
∴c1b1+c2b2+…+cn-1bn-1=a_n（n≥2），②
①-②：cnbn=a_n+1-a_n=3，
∴c_n=3b_n=3•2^n-1（n≥2），
又c₁=b₁a₂=7，
∴c_n=

解析

b3q2

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}的首项a1=4，公差.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。