已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a1=2，且a2，a3，a4+1成等比数列．求数列{an}的通项公式；设bn=2n•(an+2)，求数列{b

题文

已知数列{a_n}是公差不为0的等差数列，a₁=2，且a₂，a₃，a₄+1成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=2n•(an+2)，求数列{b_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，由a₁=2和a₂，a₃，a₄+1成等比数列，得
（2+2d）²-（2+d）（3+3d），解得d=2，或d=-1，
当d=-1时，a₃=0，与a₂，a₃，a₄+1成等比数列矛盾，舍去．
∴d=2，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2+2（n-1）=2n．
即数列{a_n}的通项公式a_n=2n；
（Ⅱ）由a_n=2n，得
b_n=2n•(an+2)=2n(2n+2)=1n(n+1)=1n-1n+1，
∴S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=1-12+12-13+13-14+…+1n-1n+1=nn+1．

解析

2n•(an+2)

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}是公差不为0的等差数列，.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。