根据程序框图，将输出的x，y值依次分别记为x1，x2，…，x2013；y1，y2，…，y2013写出数列{xn}的递推公式，求{xn}的通项公式；写

题文

根据程序框图，将输出的x，y值依次分别记为x₁，x₂，…，x₂₀₁₃；y₁，y₂，…，y₂₀₁₃
（Ⅰ）写出数列{x_n}的递推公式，求{x_n}的通项公式；
（Ⅱ）写出数列{y_n}的递推公式，求{y_n}的通项公式；
（Ⅲ）求数列{x_n+y_n}的前n项和S_n（n≤2013）．


题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）数列{x_n}的递推公式为x_n+1=2x_n，
∵xn+1xn=2，
∴数列{x_n}构成一个首项为1公比为2的等比数列，
∴数列{x_n}的通项公式为xn=2n-1（n≤2013）；
（Ⅱ）数列{y_n}的递推公式为y_n+1=y_n+1，
证明：∵y_n+1-y_n=1，
∴{y_n}是首项为2公差为1的等差数列，
∴y_n=y₁+（n-1）×1=n+1，
即数列{y_n}的通项公式为y_n=n+1（n≤2013）；
（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知xn+yn=2n-1+(n+1)，
∴Sn=(20+21+22+…+2n-1)+[2+3+4+…+(n+1)]
=1×(1-2n)1-2+n(n+3)2
=2n-1+n2+3n2（n≤2013）．

解析

xn+1xn

考点

据考高分专家说，试题“根据程序框图，将输出的x，y值依次分别记.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。