已知数列{an}，Sn是其n前项的和，且满足3an=2Sn+n求证：数列{an+12}为等比数列；记Tn=S1+S2+L+Sn，求Tn的

题文

已知数列{a_n}，S_n是其n前项的和，且满足3a_n=2S_n+n（n∈N^*）
（1）求证：数列{a_n+12}为等比数列；
（2）记T_n=S₁+S₂+L+S_n，求T_n的表达式；
（3）记C_n=23（a_n+12），求数列{nC_n}的前n项和P_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵3a_n=2S_n+n，
∴a₁=1，
当n≥2时，3（a_n-a_n-1）=2a_n+1，即a_n=3a_n-1+1，
∴a_n+12=3a_n-1+1+12=3（a_n-1+12），
∴数列{a_n+12}是首项为32，公比为3的为等比数列；
（2）由（1）知，a_n+12=32•3^n-1，
∴a_n=12×3ⁿ-12，
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n
=12•3(1-3n)1-3-n2
=34•3ⁿ-14（2n+3），
∴T_n=S₁+S₂+…+S_n
=34（3+3²+…+3ⁿ）-14×(5+2n+3)n2
=34•3(1-3n)1-3-n(n+4)4
=98（3ⁿ-1）-n(n+4)4．
（3）∵C_n=23（a_n+12）=23×12×3ⁿ=3^n-1，
∴P_n=1×3⁰+2×3+3×3²+…+n•3^n-1，
∴3P_n=1×3+2×3²+…+（n-1）•3^n-1+n•3ⁿ，
两式相减得：
-2P_n=1+3+3²+…+3^n-1-n•3ⁿ
=1-3n1-3-n•3ⁿ
=1-2n2×3ⁿ-12，
∴P_n=1+(2n-1)•3n4．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}，Sn是其n前项的和，且.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。