在数列{an}中，a1=-6×210，点在直线y=211x上，设bn=an+1-an+t，数列{bn}是等比数列．求出实数t；

题文

在数列{a_n}中，a₁=-6×2¹⁰，点（n，2a₊₁-a_n）在直线y=2¹¹x上，设b_n=a_n+1-a_n+t，数列{b_n}是等比数列．
（1）求出实数t；（2）令c_n=|log₂b_n|，问从第几项开始，数列{c_n}中连续20项之和为100？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题设知2a_n+1=a_n+2¹¹n，从而an+1=12(an+211n)
当n＞1时，bnbn-1=an+1-an+tan-an-1+t=an-an-1+211+t2(an-an-1+t)，
若{b_n}是等比数列，则2¹¹+2t=t，
故t=-2¹¹．
（2）∵{b_n}是以12为公比的等比数列，首项为a₂-a₁+t，
∴bn=(a2-a1-211)(12)n-1
∵a2=12(a1+211)=12(-6•210+211)，a₂-a₁-2¹¹=2¹¹
∴bn=211(12)n-1=212-n
∴c_n=|n-12|，
假设{c_n}从第k项起连续20项之和为100，
当k≥12时，c_k+c_k+1+…+c_k+19≥c₁₂+c₁₃+…+c₃₁=190≥100不合题意，
当k＜12时，c_k+c_k+1+…+c_k+19=12-k+11-k+…+1+0+1+…+k+7=k²-5k+106=100
解得k=2或3，
所以数列{c_n}从第二项或长三项起连续20项之和为100．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“在数列{an}中，a1=-6×210，点.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。