已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=aa-1(an-1)(a为常数且a≠0，a≠1，n∈N*)．求数列{an}的通项公式；记bn=2Sn

题文

（理科）已知数列{a_n}的前n项和S_n满足Sn=aa-1(an-1)(a为常数且a≠0，a≠1，n∈N*)．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记bn=2Snan+1，若数列{b_n}为等比数列，求a的值；
（3）在满足（2）的条件下，记Cn=11+an+11-an+1，设数列{C_n}的前n项和为T_n，求证：Tn＞2n-13． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由（a-1）S_n=aa_n-a ①
当n≥2时，（a-1）S_n-1=aa_n-1-a ②
由①-②得n≥2时，（a-1）a_n=aa_n-aa_n-1即a_n=aa_n-1
又a₁=a≠0
∴数列{a_n}是以a为首项，a为公比的等比数列
∴a_n=aⁿ
（2）bn=2Snan+1=2a1-a(1a)n+3a-1a-1
b1=3，b2=3a+2a，b3=3a2+2a+2a2
又b₂²=b₁•b₃得（3a+2）²=3（3a²+2a+2）解得a=13
又a=13时，bn=3n显然为等比数列
故a=13
（3）由（2）得Cn=3n3n+1+3n+13n+1-1=2-2(3n-1)(3n+1-1)(3n+1)
又2(3n-1)(3n+1-1)(3n+1)＜2(3n-1)(3n+1-3)(3n+1)=233n+1＜233n
∴n

i=12(3i-1)(3i+1-1)(3i+1)＜n

i=1233i=23×13(1-13n)1-13＜13
∴Tn＞2n-13

解析

2Snan

考点

据考高分专家说，试题“（理科）已知数列{an}的前n项和Sn满.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。