设单调递减数列{an}前n项和Sn=-12a2n+12an+21，且a1＞0；求{an}的通项公式；若bn=2n-1•an，求{bn}前n项和Tn．

题文

设单调递减数列{a_n}前n项和Sn=-12a2n+12an+21，且a₁＞0；
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若bn=2n-1•an，求{b_n}前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当n=1时，a1=S1=-12a21+12a1+21，化为a21+a1-42=0，又a₁＞0，解得a₁=6；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-12a2n+12an+21-[-12a2n-1+12an-1+21]，化为（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1+1）=0，
∵数列{a_n}是单调递减数列，∴a_n+a_n-1≠0，a_n-a_n-1=-1．
∴数列{a_n}是公差为-1的等差数列，∴a_n=a₁+（n-1）d=6-（n-1）=7-n．
（2）∵bn=2n-1•an=（7-n）•2^n-1．
∴T_n=6×1+5×2¹+4×2²+…+（8-n）×2^n-2+（7-n）×2^n-1，
2T_n=6×2¹+5×2²+…+（8-n）×2^n-1+（7-n）×2ⁿ，
∴Tn=-6+(21+22+…+2n-1)+（7-n）×2ⁿ
=-6+2(2n-1-1)2-1+（7-n）×2ⁿ
=-6+2ⁿ-2+（7-n）×2ⁿ
=（8-n）×2ⁿ-8．．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“设单调递减数列{an}前n项和Sn=-1.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。