设数列{an}是有穷等差数列，给出下面数表：a1　a2a3 …an-1　　an第1行a1+a2　a2+a3　…an-1+an　第2行………第n行上表共有n行，其

题文

设数列{a_n}是有穷等差数列，给出下面数表：
a₁ a₂a₃ …a_n-1 a_n第1行
a₁+a₂ a₂+a₃ …a_n-1+a_n 第2行
…
…
…第n行
上表共有n行，其中第1行的n个数为a₁，a₂，a₃…a_n，从第二行起，每行中的每一个数都等于它肩上两数之和．记表中各行的数的平均数（按自上而下的顺序）分别为b₁，b₂，b₃…b_n．
（1）求证：数列b₁，b₂，b₃…b_n成等比数列；
（2）若a_k=2k-1（k=1，2，…，n），求和n

k=1akbk． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：由题设易知，b1=n(a1+an)2n=a1+an2，
b2=(n-1)(a1+a2+…+an)2(n-1)=a1+a2+…+an2=a1+an．
设表中的第k（1≤k≤n-1）行的数为c₁，c₂…c_n-k+1，显然c₁，c₂…c_n-k+1，成等差数列，则它的第k+1行的数是c₁+c₂，c₂+c₃…c_n-k+c_n-k+1也成等差数列，它们的平均数分别是bk=c1+cn-k+12，b_k+1=c₁+c_n-k+1，于是bk+1bk=2（1≤k≤n-1，k∈N^*）．
故数列b₁，b₂…b_n是公比为2的等比数列．（7分）
（2）由（1）知，bk=b1•2k-1=a1+a22•2k-1，
故当a_k=2k-1时，bk=n•2k-1，akbk=n(2k-1)•2k-1．
于是n

k=1akbknn

k=1(2k-1)•2k-1． （9分）
设S=n

k=1(2k-1)•2k-1，
则S=1•2⁰+3•2¹+5•2²+…+（2n-1）•2^n-1①
2S=1•2+3×2²+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ②
①-②得，-S=1×2⁰+2（2+2²+…+2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ，
化简得，S=（2n-1）•2ⁿ-2ⁿ⁺¹+3，
故n

k=′1akbk=n（2n-1）•2n-n•2ⁿ⁺¹+3n．（14分）

解析

n(a1+an)2n

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}是有穷等差数列，给出下面数.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。