在等差数列{an}中，a1=8，a3=4．求数列{an}的通项公式；设Sn=|a1|+|a2|+…+|an|，求Sn；设bn=1n(12-an

题文

在等差数列{a_n}中，a₁=8，a₃=4．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|，求S_n；
（3）设bn=1n(12-an)（n∈N^*），求T_n=b₁+b₂+…+b_n（n∈N^*）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵{a_n}成等差数列，a₁=8，a₃=4．
∴8+2d=4，解得公差d=-2
∴a_n=8+（n-1）×（-2）=10-2n．
（2）设a₁+a₂+…+a_n=S'_n
由a_n=10-2n≥0 得n≤5，
∴当n≤5时，S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a_n=n(8+10-2n)2=-n²+9n=S'_n．
当n＞5时，S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a₅-a₆-…-a_n
=2S'₅-S'_n=n²-9n+40．
故S_n=

解析

n(8+10-2n)2

考点

据考高分专家说，试题“在等差数列{an}中，a1=8，a3=4.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。