已知数列{an}的前n项和为sn满足sn=14(an+1)2，且an＞0．求数列{an}的通项公式an；令bn=20-an，求数列{bn}的前n项和

题文

已知数列{a_n}的前n项和为s_n满足s_n=14(an+1)2，且an＞0．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）令b_n=20-a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵s_n=14(an+1)2，且an＞0．当n≥2时，Sn-1=14(an-1+1)2，
∴an=14(an+1)2-14(an-1+1)2，化为（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∴a_n-a_n-1=2．又a1=14(an+1)2，解得a₁=1，
∴数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
（2）由（1）可得b_n=20-a_n=20-（2n-1）=21-2n．
∴T_n=n(19+21-2n)2=-n²+20n=-（n-10）²+100．
∴当n=10时，T_n取得最大值100．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为sn满足sn.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。