已知递增的等比数列{an}的前三项之积为512，且这三项分别依次减去1、3、9后又成等差数列．求数列{an}的通项公式；若Tn=1a1+2a2+3a

题文

已知递增的等比数列{a_n}的前三项之积为512，且这三项分别依次减去1、3、9后又成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若Tn=1a1+2a2+3a3+…+nan，求T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设递增的等比数列{a_n}的前三项分别为a₁，a₂，a₃，
则a₁a₂a₃=512，∴a₂=8．
又这三项分别依次减去1、3、9后又成等差数列，
则2（a₂-3）=a₁-1+a₃-9，即a₁+a₃=20．
又∵a1a3=a22=64，且a₁＜a₃，∴a₁=4，a₃=16，
∴等比数列{a_n}的公比q=2．
∴an=a1qn-1=4•2n-1=2n+1；
（2）证明：令bn=nan=n2n+1=n(12)n+1，
则T_n=b₁+b₂+…+b_n
=1•(12)2+2•(12)3+…+(n-1)•(12)n+n•(12)n+1，①
12Tn=(12)3+2•(12)4+…+(n-1)•(12)n+1+n•(12)n+2，②
①-②得：12Tn=(12)2+(12)3+…+(12)n+1-n•(12)n+2，
即Tn=12+(12)2+…+(12)n-n•(12)n+1，
∴Tn=12(1-(12)n)1-12-n•(12)n+1=1-(1+n2)•(12)n．

解析

nan

考点

据考高分专家说，试题“已知递增的等比数列{an}的前三项之积为.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。