已知数列{an}满足：an=logn+1，定义使a1•a2•a3…ak为整数的数k叫做企盼数，则区间[1，2013]内所有的企

题文

已知数列{a_n}满足：a_n=log_n+1（n+2）（n∈N^*），定义使a₁•a₂•a₃…a_k为整数的数k（k∈N^*）叫做企盼数，则区间[1，2013]内所有的企盼数的和为（ ）A．1001B．2026C．2030D．2048 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵a_n=log_n+1（n+2）=log2(n+2)log2(n+1)，（n∈N^*），
∴a₁•a₂•a₃…a_k=log23log22•log24log23•log25log24…log2(k+2)log2k=log₂（k+2），
又∵a₁•a₂•a₃…a_k为整数，
∴k+2必须是2的n次幂（n∈N^*），即k=2ⁿ-2；
又k∈[1，2013]，∴1≤2ⁿ-2≤2013，∴取2≤n≤10；
∴区间[1，2013]内所有的企盼数的和为：
M=（2²-2）+（2³-2）+（2⁴-2）+…+（2¹⁰-2）=22-2111-2-2×9=2026；
故选：B．

解析

log2(n+2)log2(n+1)

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足：an=logn+1.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。