在数列{an}中，a1=16，数列{bn}是公差为-1的等差数列，且bn=log2an求数列{an}和{bn}的通项公式；在数列{bn}中，若存在正

题文

在数列{a_n}中，a₁=16，数列{b_n}是公差为-1的等差数列，且b_n=log₂a_n
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）在数列{b_n}中，若存在正整数p，q使b_p=q，b_q=p（p＞q），求p，q得值；
（Ⅲ）若记c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项的和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）数列{a_n}中，a₁=16，数列{b_n}是公差为-1的等差数列，且b_n=log₂a_n；
∴b_n+1=log₂a_n+1，∴b_n+1-b_n=log₂a_n+1-log₂a_n=log₂an+1an=-1；
∴an+1an=12，∴{a_n}是等比数列，通项公式为a_n=16×(12)n-1=(12)n-5；
∴{b_n}的通项公式b_n=log₂a_n=log₂(12)n-5=5-n；
（Ⅱ）数列{b_n}中，∵b_n=5-n，假设存在正整数p，q使b_p=q，b_q=p（p＞q），
则

解析

an+1an

考点

据考高分专家说，试题“在数列{an}中，a1=16，数列{bn.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。