已知数列{an}是首项为1的等差数列，其公差d＞0，且a3，a7+2，3a9成等比数列．求数列{an}的通项公式；求证：a1+a22+a322+…+

题文

已知数列{a_n}是首项为1的等差数列，其公差d＞0，且a₃，a₇+2，3a₉成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：a1+a22+a322+…+an2n-1＜4（n∈N*）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）因为a_n=1+（n-1）d，则a₃=1+2d，a₇=1+6d，a₉=1+8d．（3分）
由已知，(a7+2)2=a₃•3a₉，则（3+6d）²=3（1+2d）（1+8d），即2d²-d-1=0．（5分）
所以（2d+1）（d-1）=0．
因为d＞0，则d=1，
故a_n=n．（6分）
（Ⅱ）设S_n=a₁+a22+a322+…+an2n-1，则S_n=1+22+322+…+n2n-1，
则12S_n=12+222+…+n2n．（8分）
两式相减得，12S_n=1+12+122+123+…+12n-1-n2n=1-12n1-12-n2n=2-n+22n．
所以S_n=4-n+22n-1．（12分）
因为n+22n-1＞0，则4-n+22n-1＜4，故a₁+a22+a322+…+an2n-1＜4．（13分）

解析

a22

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}是首项为1的等差数列，其.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。