数列{an}的前n项的和Sn=2an-1，数列{bn}满足：b1=3，Sn+1=an+bn．求证：数列{an}为等比数列；求

题文

数列{a_n}的前n项的和S_n=2a_n-1（n∈N^*），数列{b_n}满足：b₁=3，S_n+1=a_n+b_n（n∈N^*）．
（1）求证：数列{a_n}为等比数列；
（2）求数列{b_n}的前n项的和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a_n+1=S_n+1-S_n=（2a_n+1-1）-（2a_n-1），
∴a_n+1=2a_n，
又a₁=S₁=2a₁-1，∴a₁=1≠0，
因此数列{a_n}为公比是2、首项是1的等比数列；
（2）易得bn+1-bn=2n-1，∴bn-bn-1=2n-2，bn-1-bn-2=2n-3，…，b2-b1=20=1，
以上各式相加得，bn+1-b1=1+2+3+…+2n-1=2ⁿ-1，
∴bn+1=2n+2，∴bn=2n-1+2，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=2n+1-2n1-2=2ⁿ+2n-1（n∈N*）．

解析

1-2n1-2

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}的前n项的和Sn=2an-1.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。