已知正项数列，其前项和满足且成等比数列，求数列的通项

题文

已知正项数列

，其前

项和

满足

且

成等比数列，求数列

的通项

题型：未知 难度：其他题型

答案

5n－3

解析

解

 ∵10S_n=a_n²+5a_n+6, ①  ∴10a₁=a₁²+5a₁+6,解之得a₁=2或a₁="3."
又10S_n－1=a_n－1²+5a_n－1+6(n≥2),②
由①－②得 10a_n=(a_n²－a_n－1²)+6(a_n－a_n－1),即(a_n+a_n－1)(a_n－a_n－1－5)="0 "
∵a_n+a_n－1>0  , ∴a_n－a_n－1="5" (n≥2).
当a₁=3时,a₃=13,a₁₅="73." a₁, a₃,a₁₅不成等比数列∴a₁≠3;
当a₁=2时, a₃="12," a₁₅="72," 有 a₃²=a₁a₁₅ , ∴a₁="2," ∴a_n=5n－3.

考点

据考高分专家说，试题“已知正项数列，其前项和满足且成等比数列，.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。