已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f(x)=(x－1)2，且a1=f(d－1)，a3=f(d+1

题文

已知数列{a_n}是公差为d的等差数列，数列{b_n}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f(x)=(x－1)²，且a₁=f(d－1)，a₃=f(d+1)，b₁=f(q+1)，b₃=f(q－1)，
(1)求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
(2)设数列{c_n}的前n项和为S_n，对一切n∈N^*，都有

=a_n+1成立，求





  题型：未知 难度：其他题型

答案

(1) a_n=a₁+(n－1)d=2(n－1) , b_n=b·q^n－1=4·(－2)^n－1 ,
(2)

解析

 (1)∵a₁=f(d－1)=(d－2)²，a₃=f(d+1)=d²，
∴a₃－a₁=d²－(d－2)²=2d，
∵d=2，∴a_n=a₁+(n－1)d=2(n－1)；
又b₁=f(q+1)=q²，b₃=f(q－1)=(q－2)²，
∴

=q²，由q∈R，且q≠1，得q=－2，


∴b_n=b·q^n－1=4·(－2)^n－1
(2)令

=d_n，则d₁+d₂+…+d_n=a_n+1,(n∈N^*),
∴d_n=a_n+1－a_n=2,
∴

=2,即c_n=2·b_n=8·(－2)^n－1；∴S_n=

［1－(－2)ⁿ］

 
∴

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}是公差为d的等差数列，数.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。