题文
（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列
满足
, 且
,
其中
．
（I）求数列
的通项公式;
（II）设
数列
的前
项和为
,令
,其中
,试比较
与
的大小,并加以证明． 题型：未知 难度：其他题型
答案
解：（Ⅰ)因为
,即
又
,所以有
,所以
所以数列
是公比为
的等比数列. …………………………………………3分
由
得
, 解得
.
故数列
的通项公式为
. ……………………………………….6分
（II）因
，所以
即数列
是首项为
,公比是
的等比数列.
所以
，……………………………………….……………………………………7分
则
又
. ……………………………………8分
法一：数学归纳法
猜想
①当
时，
,上面不等式显然成立；
②假设当
时，不等式
成立
当
时，
.
综上①②对任意的
均有
……………………………………….10分
法二：二项式定理：因为
,
所以
.
即对任意的
均有
. ……………………………………..10分
又
,
所以对任意的
均有
. …………………
……….12分
解析
略考点
据考高分专家说，试题“ （本小题满分12分）已知各项均为正数的.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如
的形式，可以把
表示为
，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如
的数列，其中
为等差数列，
为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。
数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有
的一类数列，在求
时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
