已知f (x)＝mx(m为常数，m>0且m≠1)．设f (a1)，f (a2)，…，f (an)，…(n∈N)是首项为m2，公比为m的

题文

（本小题满分14分）已知f (x)＝m^x(m为常数，m>0且m≠1)．设f (a₁)，f (a₂)，^…，f (a_n)，^…(n∈N)是首项为m²，公比为m的等比数列．
(1)求证：数列{a_n}是等差数列；
(2)若b_n＝a_n f (a_n)，且数列{b_n}的前n项和为S_n，当m＝3时，求S_n；
(3)若c_n＝ f(a_n) lg f (a_n)，问是否存在m，使得数列{c_n}中每一项恒不小于它后面的项？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

 解： (1)由题意f (a_n)＝m²·m^n-1，即ma_n＝mⁿ⁺¹.
∴a_n＝n＋1，∴a_n＋1－a_n＝1，∴数列{a_n}是以2为首项，1为公差的等差数列．
(2)由题意b_n＝a_n f (a_n)＝(n＋1)·mⁿ⁺¹，
当m＝3时，b_n＝(n＋1)·3ⁿ⁺¹，∴S_n＝2·3²＋3·3³＋4·3⁴＋^…＋(n＋1)·3ⁿ⁺¹①
①式两端同乘以3得，3S_n＝2·3³＋3·3⁴＋4·3⁵＋^…＋n·3ⁿ⁺¹＋(n＋1)·3ⁿ⁺²②
②－①并整理得，
2S_n＝－2·3²－3³－3⁴－3⁵－^…－3ⁿ⁺¹＋(n＋1)·3ⁿ⁺²＝－3²－(3²＋3³＋3⁴＋^…＋3ⁿ⁺¹)＋(n＋1)·3ⁿ⁺²
＝－3²－

＋(n＋1)·3ⁿ⁺²＝－9＋

 (1－3ⁿ)＋(n＋1)·3ⁿ⁺²＝(n＋

)3ⁿ⁺²－

.
∴S_n＝

(2n＋1)3ⁿ⁺²－

.
(3)由题意c_n＝f (a_n)·lg f (a_n)＝mⁿ⁺¹·lgmⁿ⁺¹＝(n＋1)·mⁿ⁺¹·lgm，
要使c_n≥c_n＋1对一切n∈N^*成立，即(n＋1)·mⁿ⁺¹·lgm≥(n＋2)·mⁿ⁺²·lgm，对一切n∈N^*成立，
① 当m>1时

，lgm>0，所以n＋1≥m(n＋2)，即m≤

对一切n∈N^*成立，
因为

＝1－

的最小值为

，所以m≤

，与m>1不符合，即此种情况不存在.
②当0<m<1时，lgm<0，所以n＋1≤m(n＋2)，即m≥

对一切n

∈N^*成立，所以

≤m<1.
综上，当

≤m<1时，数列{c_n}中每一项恒不小于它后面的项

解析

略

考点

据考高分专家说，试题“（本小题满分14分）已知f (x)＝mx.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。