设数列{an}的前n项和为Sn＝2n2，{bn}为等比数列，且a1＝b1，b2(a2－a1)＝b1.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)设

题文

设数列{a_n}的前n项和为S_n＝2n²，{b_n}为等比数列，且a₁＝b₁，b₂(a₂－a₁)＝b₁.
(1)求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；（ 6分）
(2)设c_n＝

，求数列{c_n}的前n项和T_n. 题型：未知 难度：其他题型

答案

22.    (1) 当n＝1时，a₁＝S₁＝2
当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝2n²－2(n－1)²＝4n－2，
又a₁=2满足上式，
∴a_n＝4n－2.     ………………………………………3分
设{b_n}的公比为q，由b₂(a₂－a₁)＝b₁知，b₁＝2，b₂＝

，所以q＝

，
∴b_n＝b₁q^n-1＝2×

，即b_n＝

. …………………………6分
(2)∵c_n＝

＝

＝(2n－1) 4^n-1，      …………………………8分
∴T_n＝1＋3×4¹＋5×4²＋…＋(2n－1)4^n-1 ①
又4T_n＝1×4¹＋3×4²＋5×4²＋…＋(2n－3)4^n-1＋(2n－1)4ⁿ ②……………10分
①-②得：-3T_n= 1+2(4¹＋4²＋4³＋…＋4^n-1)-(2n－1)4ⁿ
=

-(2n－1)4ⁿ
=


∴T_n＝

[(6n－5)4ⁿ＋5].

解析

略

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的前n项和为Sn＝2n2，.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。