题文
（本小题满分12分）已知数列
的前n项和为
(n∈N*)，且
．数列
满足
，
，
，n＝2，3，…．
（Ⅰ）求数列
的通项公式；
（Ⅱ）求数列
的通项公式；
（Ⅲ）证明：对于
，
． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）因为 2Sn＝（n＋1）an，所以 2Sn＋1＝（n＋2）an＋1．
两式相减得 2an＋1＝（n＋2）an＋1－（n＋1）an，即
． …………… 2分
当n≥2时，
＝
＝
．
又a1＝2满足上式，故
＝2n（n∈N*）． …………………………………… 4分
（Ⅱ）因为
＝
（n≥2），b
＝0，b
＝2，
故当n≥3时，有
＝b
＝2
，
所以
＝
（n－1）（n≥3）． ……………………………………………… 8分
显然 b
＝0，b
＝2 满足上式，
故 {
} 的通项公式为
＝
（n－1）． …………………………………… 10分
（Ⅲ）
当k≥2时，
．
故
…………………………………………………… 11分
注意到 b1＝0，
则
（n∈N*）．… 12分
解析
略考点
据考高分专家说，试题“（本小题满分12分）已知数列的前n项和为.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如
的形式，可以把
表示为
，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如
的数列，其中
为等差数列，
为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。
数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有
的一类数列，在求
时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
