题文
（本题满分16分）定义
，
，…，
的“倒平均数”为
（
）．已知数列
前
项的“倒平均数”为
，记
（
）．
（1）比较
与
的大小；
（2）设函数
，对（1）中的数列
，是否存在实数
，使得当
时，
对任意
恒成立？若存在，求出最大的实数
；若不存在，说明理由．
（3）设数列
满足
，
（
且
），
（
且
），且
是周期为
的周期数列，设
为
前
项的“倒平
均数”，求
． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）设数列
的前
项和为
，由题意得
，
所以
，……（1分）
当
时，
，当
时，
，而
也满足此式．
所以
（
）．……（1分）
所以
，……（1分）
，因此
．……（1分）
（2）假设存在实数
，使得当
时，
对任意
恒成立，
即
对任意
恒成立，……（2分）
由（1）知数列
是递增数列，所以只要
，即
，（2分）
解得
或
．……（1分）
所以存在最大的实数
，使得当
时，
对任意
恒成立．…（1分）
（3）由
，
，得
，……（1分）
① 若
，则
，
，
，因为
周期为
，故
，所以
，所以
，
（舍），故
．
此时，
为
，
，
，
，
，
，…．符合题意．……（1分）
② 若
，则
，
，因为
周期为
，故
，
所以
，即
或
，解得
或
，均不合题意．…（1分）
设数列
的前
项和为
，则对
，有
……（1分）
即
所以
因此
．（2分）
解析
略考点
据考高分专家说，试题“（本题满分16分）定义，，…，的“倒平均.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如
的形式，可以把
表示为
，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如
的数列，其中
为等差数列，
为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。
数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有
的一类数列，在求
时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
